指数方程求解计算器

指数方程出现在许多类型的数学建模问题中，例如复利、细胞培养生长和放射性衰变。可能会出现需要找到两个指数方程的交点的情况，即求解形式的方程ab ^x = cd ^x

 下面的方法和示例将向您展示如何求解这些方程，或者您可以使用左侧的指数方程求解计算器。

（步骤 1） 首先取等式两边的对数。您可以使用 Log 10 或自然对数函数 Ln。在本例中，我们将使用 Ln。因此

Ln（ ab ^x ） = Ln（ cd ^x ）

（第 2 步） 使用对数的属性将两边分解为更简单的表达式。

Ln（ a ） + Ln（ b ^x ） = Ln（ c ） + Ln（ d ^x ）
Ln（ a ） + x Ln（ b ） = Ln（ c ） + x Ln（ d ） 


现在方程在 x 中是线性 x的。

（第 3 步） 使用代数求解 x

x Ln（ b ） - x Ln（ d ） = Ln（ c ） - Ln（ a ）
x [Ln（ b ） - Ln（ d ）] = Ln（ c ） - Ln（ a ）
x = [Ln（ c ） - Ln（ a ）]/[Ln（ b ） - Ln（ d ）]
x = Ln（ c / a ）/Ln（ b / d ） 


就会有一个唯一的解 ，x 只要 a 和 c 具有相同的符号，并且 b 和 d 都是正的并且彼此不相等

示例 1：张三在一个年增长 3.3% 的账户中投资 5000 元，李四在一个年增长 2.1% 的账户中投资 7600 元。张三和李四都没有从他们的账户中进行任何存款或取款。多少年后，张三账户里的钱会比李四多多少年？

模拟张三帐户的函数是 5000（1.033）^ x ，模拟李四帐户的函数是 7600（1.021）^ x ，其中 x 是年数。为了找出两个帐户何时相等，我们求解方程 5000（1.033）^ x = 7600（1.021）^ x 。使用上面的方法，我们得到 x = Ln（7600/5000）/Ln（1.033/1.02），或 x = 85.83 年，或大约 35 年零 10 个月。在这一点之后，张三的账户将永远比小鹿的账户有更多的钱。

例 2： 在时间 = 0 时，细胞培养物 A 在培养皿中占据 0.20 cm 2 的空间，细胞培养物 B 在另一个培养皿中占据 0.97 cm 2 。细胞培养物 A 以每小时 5.2% 的连续速率生长，而细胞培养物 B 以每小时 2.9% 的连续速率生长。当两种细胞培养物大小相同时？那会有多大？

模拟细胞培养物 A 生长的函数是 0.20e 0.052x ，模拟细胞培养物 B 的函数是 0.97e 0.029x ，其中 x 是小时数，e 是连续复合的常数，大约 2.718281828459045。将两个方程相等并求解 x 可以得到

0.20e ^0.052x = 0.97e ^0.029x
Ln（0.20） + 0.052 x Ln（e） = Ln（0.97） + 0.029 x Ln（e）
Ln（0.20） + 0.052 x = Ln（0.97） + 0.029 x         （ Ln（e） = 1 ）
0.023 x = Ln（0.97） - Ln（0.20）
x = [Ln（0.97） - Ln（0.20）]/0.023 = 68.65 小时，即 68 小时 39 分钟。 


要找到 x = 68.65 小时时培养物的大小，请将此值代入培养物 A 或培养物 B 的等式中。