指数方程求解计算器
指数方程出现在许多类型的数学建模问题中,例如复利、细胞培养生长和放射性衰变。可能会出现需要找到两个指数方程的交点的情况,即求解形式的方程ab x = cd x
下面的方法和示例将向您展示如何求解这些方程,或者您可以使用左侧的指数方程求解计算器。
(步骤 1) 首先取等式两边的对数。您可以使用 Log 10 或自然对数函数 Ln。在本例中,我们将使用 Ln。因此
Ln( ab x ) = Ln( cd x )
(第 2 步) 使用对数的属性将两边分解为更简单的表达式。
Ln( a ) + Ln( b x ) = Ln( c ) + Ln( d x )
Ln( a ) + x Ln( b ) = Ln( c ) + x Ln( d )
现在方程在 x 中是线性 x的。
(第 3 步) 使用代数求解 x
x Ln( b ) - x Ln( d ) = Ln( c ) - Ln( a )
x [Ln( b ) - Ln( d )] = Ln( c ) - Ln( a )
x = [Ln( c ) - Ln( a )]/[Ln( b ) - Ln( d )]
x = Ln( c / a )/Ln( b / d )
就会有一个唯一的解 ,x 只要 a 和 c 具有相同的符号,并且 b 和 d 都是正的并且彼此不相等
示例 1:张三在一个年增长 3.3% 的账户中投资 5000 元,李四在一个年增长 2.1% 的账户中投资 7600 元。张三和李四都没有从他们的账户中进行任何存款或取款。多少年后,张三账户里的钱会比李四多多少年?
模拟张三帐户的函数是 5000(1.033)^ x ,模拟李四帐户的函数是 7600(1.021)^ x ,其中 x 是年数。为了找出两个帐户何时相等,我们求解方程 5000(1.033)^ x = 7600(1.021)^ x 。使用上面的方法,我们得到 x = Ln(7600/5000)/Ln(1.033/1.02),或 x = 85.83 年,或大约 35 年零 10 个月。在这一点之后,张三的账户将永远比小鹿的账户有更多的钱。
例 2: 在时间 = 0 时,细胞培养物 A 在培养皿中占据 0.20 cm 2 的空间,细胞培养物 B 在另一个培养皿中占据 0.97 cm 2 。细胞培养物 A 以每小时 5.2% 的连续速率生长,而细胞培养物 B 以每小时 2.9% 的连续速率生长。当两种细胞培养物大小相同时?那会有多大?
模拟细胞培养物 A 生长的函数是 0.20e 0.052x ,模拟细胞培养物 B 的函数是 0.97e 0.029x ,其中 x 是小时数,e 是连续复合的常数,大约 2.718281828459045。将两个方程相等并求解 x 可以得到
0.20e 0.052x = 0.97e 0.029x
Ln(0.20) + 0.052 x Ln(e) = Ln(0.97) + 0.029 x Ln(e)
Ln(0.20) + 0.052 x = Ln(0.97) + 0.029 x ( Ln(e) = 1 )
0.023 x = Ln(0.97) - Ln(0.20)
x = [Ln(0.97) - Ln(0.20)]/0.023 = 68.65 小时,即 68 小时 39 分钟。
要找到 x = 68.65 小时时培养物的大小,请将此值代入培养物 A 或培养物 B 的等式中。